
已知均匀带电圆环电荷量为q,半径为R。如图,以圆环圆心为原点,中轴线为x轴建立坐标系。
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中轴线上的电场强度在圆环上的A处取一小段圆弧dl为研究对象,其电荷量为dq,可视为点电荷。
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若OB=x,则dq在B点产生的电场强度为
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电场强度是矢量,dE的方向沿AB由A指向B。
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取A关于圆心对称的A'点,可知dE、dE'大小相等,与x轴的夹角相等,则二者在垂直x轴方向上合场强为零。任取一个dq,总能找到一个关于圆心对称的dq,二者叠加后,使得B点的场强沿x正方向。因此,只需要dE沿x轴的分量
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积分可得B点的场强
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电场强度的最大值当x=0时,E=0;当x→∞时,E→0,则E先增大再减小。那何处取最大值?最大值是多少?可以将E写成θ的函数,则
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令
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需求u的最大值。求导等于零
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可得
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此时,电场强度取最大值
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求最大值的其他方法,参看文章《物理教学 | 等量同种电荷连线的中垂线上电场强度的最大值》。
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中轴线上的电势由于电势是标量,不用要考虑方向,要比电场强度好求一些。上篇文章《知识拓展 | 静止点电荷r处的电势》已经给出点电荷电势的表达式。
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选取dq为研究对象,则
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积分可得B处的电势为
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可知O点的电势最大,沿着x轴正方向电势逐渐减小。
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